稠密子集
有理数集是实数的(稠密)子集,对吗? -
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
稠密的定义：如果一个集合在一个空间的任意一个开集中都存在元素，那么我们称这个集合在这个空间中稠密。设E是R的非空子集满足：1.任给a,b∈R,存在z∈E,使得a<z0,则x+c>x.于是存在c1>0,使得x<x+c1<x+c,且x+c1∈E.类似的可以选取到c2,c3,说完了。使得{x+cn|n∈N-{0}}包含于E.现在来说完了。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
稠密的定义：如果一个集合在一个空间的任意一个开集中都存在元素，那么我们称这个集合在这个空间中稠密。设E是R的非空子集满足：1.任给a,b∈R,存在z∈E,使得a<z0,则x+c>x.于是存在c1>0,使得x<x+c1<x+c,且x+c1∈E.类似的可以选取到c2,c3,说完了。使得{x+cn|n∈N-{0}}包含于E.现在来说完了。
在拓扑学中，给定拓扑空间X及其子集A，如果对于X中任一点x，x的任一邻域同A的交集不为空，则称A称为在X中稠密。直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好地逼近，则称A在X中稠密。如果拓扑空间X存在可数的稠密子集，则称X是可分的。
普林斯顿的《数学分析》中，稠密集的定义稍微有所不同，但其核心思想一致。将A 视作全集X，B 视作子集E，那么E 的闭包包含了E 的所有点以及E 的极限点。这意味着X 中的每个点要么是E 的元素（即内点），要么是E 的极限点，其邻域必定包含在E 内。这两个定义实际上阐述了相同的好了吧！
(三)稠密性,完备性 -
1.2 完备性：分离性和非稠密度定义2.2中，一个集合被称为可分的，如果存在一个可数稠密子集。例如，实数集和连续函数空间由于有理点和简单的有界函数，都是可分的。区分非稠密和稠密集合至关重要。非稠密集合在任何开集中都不稠密，如开区间(0,1)中无理数的集合。完备性则涉及到集合的极限性质后面会介绍。
含有可数稠密子集的度量空间叫做可分的。证明Rk是可分的空间设X={xn}是可分度量空间V有可数稠密子集， V1是V的任意一个非空子空间， d是度量. 由于X在V中稠密， 所以对任意的k>=1, V=U{n>=1
有理数这个名称的来历 -
3、有理数集是实数集的稠密子集，也就是说，在任何两个实数之间，都存在无穷多个有理数。这意味着我们可以用有理数来无限逼近任何实数。4、有理数集可以用分式或小数来表示。分式表示法更直观地反映了两个整数之比的含义，而小数表示法更方便地进行运算和比较大小。有理数的5大特点1、分数形式好了吧！
稠密的定义：如果一个集合在一个空间的任意一个开集中都存在元素，那么我们称这个集合在这个空间中稠密。任两个实数之间都至少有一个有理数。任取两个有理数p,q(p<q)，则(p+q)/2仍然是有理数，并且p<(p+q)/2
...Y是X的子空间,怎么证明Y的无处稠密子集也是X的无处稠密子集...
首先Y的无处稠密子集一定是X的子集，设A是Y的无处稠密子集，则A的闭包内部为空集。因此A的每个点都是A的边界点，从而这些点在X中也都是A的边界点，进而在X中A的闭包内部为空集，所以A是X的无处稠密子集。
Weierstrass第一逼近定理，连续函数能被多项式一致逼近，本质上就是 在 上稠密。如果一个度量空间 ，含有一个可数的稠密子集，就说它是可分的，一些常见的度量空间其实都是可分的。事实上，任何一个多项式都可以被一个有理系数多项式一致逼近，有理系数多项式构成了一个可数集。可数的稠密子集为等我继续说。