循环群的定理
循环群的定理 -
任何一个循环群,必是阿贝尔群。对于有限循环群,有下面的定理:n阶循环群中,阶为n的元素称为n次单位原根。记做G=<g>。显然n=p时,有p-1个单位原根。一般有φ(n)个单位原根。总之,设G是由元素a生成的n阶的循环群,则G的子群H有:1 ,若m|n,由a的m次方生成的循环群H是G的子群。..
设p为素数,G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,若a≠1,则a的阶=p,如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G,又因为|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)},这就证明了G是循环群。
任何一个循环群,必是阿贝尔群。对于有限循环群,有下面的定理:n阶循环群中,阶为n的元素称为n次单位原根。记做G=<g>。显然n=p时,有p-1个单位原根。一般有φ(n)个单位原根。总之,设G是由元素a生成的n阶的循环群,则G的子群H有:1 ,若m|n,由a的m次方生成的循环群H是G的子群。..
设p为素数,G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,若a≠1,则a的阶=p,如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G,又因为|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)},这就证明了G是循环群。
性质: 循环群必定是交换群,即[公式]。此外,循环群的子群也保持循环性。证明过程涉及子群的阶和生成元的关系。重要定理1.3.4 表明,两个具有相同阶数的循环群是同构的。进一步,如果[formula] 是一个循环群,formula] 是其正整数因子,formula] 不一定存在,即便存在也可能不唯一。拉格朗日定希望你能满意。
简单来说,循环群就是由一个元素生成的,其所有元素都是这个生成元的幂次形式。我们可以通过实例来理解:例如,整数集合在加法下,以1为生成元就构成一个循环群;在模7的同余关系中,选择8和9作为代表,它们的加法运算可以形成一个模7剩余类加群,这也是一个循环群,生成元是[1]。循环群的结构完全有帮助请点赞。
抽线代数|循环群的判定及结构 -
Langrange定理进一步指出,群的子群阶是群阶的因数,这有助于推论素数阶群必然为循环群。结构上,无限阶的循环群与[公式]同构,而有限阶的[公式]阶循环群则与[公式]同构。生成子群方面,如[公式],由元素[公式]生成,其子群包含所有形如[公式]的元素,子群的定义则通过非空子集[公式]来扩展。想要等会说。
1.循环群在同构的意义下只有两个2.循环群的子群仍是循环群3.循环群是最简单的一类群,其中有限循环群比较常用定理:设群G是由a生成的循环群,则1.若 ,则2.若 ,则证明:定理:设 是循环群, ,则 ,使证明:其中 ,即 , 使 ,称i为以a为底b的离散对数,记作注:群还有呢?
循环群有多少个生成元? -
解:设a是阶数为5的循环群的生成元,因在比5小的正整数中有且仅有2,3,4与5互质,所以a4,a3,a2也是生成元,因此生成元个数为4。设a是阶数为6的循环群的生成元,因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质,所以5a也是生成元,因此生成元个数为2。设a是阶数为14的循环群的生成元,因在比14好了吧!
cyclic group 类型无阶循环群、有阶循环群定义若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方,则称G为循环群,记作G=(a)={am |m∈Z},a称为G的—个生成元。特别地,如果G的代数运算采用加号表示时,则有(a)={ma | m∈Z} 性质定理1 设(a)是—个循环群,1)若|a|=∞等会说。
怎么验证循环群的判定定理是正确的? -
设G为循环群,那么G有生成元x,使得任何非单位元g属于G,均存在最小的正整数n,满足g=x^n。因此若H是G的子群,其任何元素非单位元h,均有h=x^n的形式.不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数.我们下面证明x^d是H的生成元.任取x^a属于H(a>0).则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。..
循环群定义: 设是群的一个元素,则的所有幂的集合,构成的一个子群,称为由生成的循环子群,记作。若群恰好可有由它的一个元素所生成,即存在,使得,则称群为循环群, 为群的生成元。定理:每个循环群都是Abel 群。任一群都必定有循环子群,元素周期的概念并不仅限于循环群。