分数阶微积分的应用举例

分数阶微积分的应用举例

什么是分数阶微积分? -
分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。例如：对x^n求1/2阶导数：首先对x^n求1阶导数后为nx^(n-1)。2阶导数后为n(n-1)x^(n-2)。那么m<n时，m阶导数后为n(n-1)(n-2)..(n-m+1)x^(n-m)，也就是n!/(n-m)!导函数如果函后面会介绍。
分数阶导数的定义众多，如Riemann-Liouville定义、级数定义和Caputo定义。Riemann-Liouville定义基于积分，适用于时间分数阶导数计算，而空间分数阶导数多用Riemann-Liouville和级数定义。Caputo定义在拉普拉斯变换中有优势。这些定义间存在关系，如Riemann-Liouville是Grunwald-Letnikov的扩展，而Caputo是对Grunwald-Letn说完了。
分数阶微积分的简介 -
例如：对x^n求阶导数：Γ（n+1）Γ（n+1/2）x^(n-1/2）n!(n-1）！2^（2n-1）x^(n-1/2）（2n-1）！π^（1/2）现在关于分数阶导数研究论文每年约1000篇，且正在快速增长。分数阶微积分理论与应用的交流与学术会议日益频繁。每年都有比较大型的国际会议，小型会议越来越多（学术有帮助请点赞。
近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。在数值算法方面主要存在的后面会介绍。
分数阶微积分的定义 -
结合上面的阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义以及经典微积分中的整数阶微积分可以给出如下的阶Riemann-Liouville分数阶微分的定义：定义设，，是大于或等于的最小正整数（），记。则称⑵为函数的阶Riemann-Liouville微分。应用定义1可得阶Riemann-Liouville微分如下：3.1.2Riemann-Liouville分数阶导数的是什么。
早在1695年，Leibniz与L’Hospital的通信中，Leibniz提出了将整数阶导数推广到非整数阶的设想。L’Hospital对此表示好奇，并提出了关于非整数阶导数的问题。尽管这个问题在当时引发了悖论，但Leibniz坚信它将有未来的应用价值。这一天，1695年9月30日，被视为分数阶微积分的诞生纪念日。尽管分数阶导数的研究还有呢？
分数阶微积分的参考文献 -
[1] 王小东.Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明[D].太原理工大学硕士学位论文，2008.[2]邓伟华.分数阶微分方程的理论分析与数值计算[D].上海大学博士学位论文，2007.[3]晏祥玉，周激流.分数阶微积分在医学图像处理中的应用[J].成都信息工程学院学报，2008,23 (01）：38~41.[4]宋建国，刘垒等我继续说。
”这个特殊的日子1695年9月30号被认为分数阶微积分的诞生日。自1695年，分数阶导数的研究已经经历了三百多年。但是早期分数阶导数的研究主要存在于理论数学领域。在很长的一段时间内，分数阶微积分的研究没有得到自然科学与工程科学研究人员的关注，基本上没有相关的应用文章发表。分数阶微积分的研究热潮好了吧！

猜你感兴趣： 分数阶微积分简介   分数阶微积分的定义   分数阶微积分的研究现状   分数阶微积分的物理意义   分数阶微分方程的应用   分数阶微分方程的意义   分数阶微积分的意义   分数阶微积分的发展   分数阶微积分pdf   分数阶微分方程的求解方法