burnside引理证明
burnside引理的证明 -
证明1：，记表示g(x) = x否则。考虑以下和式：对于上式最右边我们有：所以： 证明2：这个证明方法使用了群作用（轨道-中心化子定理）以及X是轨道的不交并的事实：更多证明方法和细节详见《Burnside’s Theorem》
组合数学群burnside引理1证明：有限群g的阶是n,h是g的子群，则h的阶必除尽g的阶。5 2,若G是关于X={x1,x2,后面会介绍。,xn}的置换群，G'是关于X'={x1',x2',..,xn'}的置换群，对于G*G'的每一对元素(g,g')={g(v),v属于Xg'(v),v属于X}证：G*G'是关于XUX'的置换群后面会介绍。 2,若G是关于X后面会介绍。
证明1：，记表示g(x) = x否则。考虑以下和式：对于上式最右边我们有：所以： 证明2：这个证明方法使用了群作用（轨道-中心化子定理）以及X是轨道的不交并的事实：更多证明方法和细节详见《Burnside’s Theorem》
组合数学群burnside引理1证明：有限群g的阶是n,h是g的子群，则h的阶必除尽g的阶。5 2,若G是关于X={x1,x2,后面会介绍。,xn}的置换群，G'是关于X'={x1',x2',..,xn'}的置换群，对于G*G'的每一对元素(g,g')={g(v),v属于Xg'(v),v属于X}证：G*G'是关于XUX'的置换群后面会介绍。 2,若G是关于X后面会介绍。
威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理，将其归于弗罗贝尼乌斯。不过在弗罗贝尼乌斯以前，这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上，这个引理明显如此有名，伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此，这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理。这可能看起来不那么有歧义，伯恩赛德对这个到此结束了？。
一个令人着迷的例子是探索SO(3)的有限子群，它不仅涉及到几何直觉、等价关系、群作用的轨道，还与Burnside引理和组合数学交织，揭示出球面、射影空间和单位四元数（SU(2)）这些拓扑对象之间的奇妙联系。寻找子群的过程，就像解构一个复杂的数学迷宫，每一步都揭示着新的理论与实际应用的结合。总结，寻找等会说。
burnside引理的推广 -
Burnside引理的权重形式G是Sn的子群，数k的权重由函数w给出，一个轨道中的所有数有相同的权重。设G导出的轨道是E1, E2, … En，每个轨道的权重等于其中一个数的权重。若g∈G，令w'(g)为g所保持不动的所有数权重的和。则有：证明过程见《Short Proof of a General Weight Burnside Lemma》到此结束了？。