在0到π定积分∫tsintdt
望哪位大神求解以下积分,并附详细过程,万分感谢?？
原积分＝∫(0到π/2) (sint)^6×3cos²tsintdt＝3∫(0到π/2) [(sint)^7-(sint)^9]dt＝3[6/7×4/5×2/3－8/9×6/7×4/5×2/3]＝16/105🌓--🐋🎇。其中套定积分公式🐬🦗——_🐳🎱：
只需考虑f(t)不是零函数的情况.若f(t)在(0,pi)上不变号🦅🌾_-🎭，不妨设f(t)>=0,则f(t)sint>=0,0
原积分＝∫(0到π/2) (sint)^6×3cos²tsintdt＝3∫(0到π/2) [(sint)^7-(sint)^9]dt＝3[6/7×4/5×2/3－8/9×6/7×4/5×2/3]＝16/105🌓--🐋🎇。其中套定积分公式🐬🦗——_🐳🎱：
只需考虑f(t)不是零函数的情况.若f(t)在(0,pi)上不变号🦅🌾_-🎭，不妨设f(t)>=0,则f(t)sint>=0,0
原式=∫（0到π）dt∫（0到1） rsint / 1+rr *rdr =【∫（0到π） sintdt】【∫（0到1） rr/ 1+rr dr】2*【∫（0到1） (rr+1)-1 / 1+rr dr】2*【∫（0到1） 1 - 1/ 1+rr dr】2*【1- π/4 】
由0=积分(从0到pi)f(t)sintdt知道f(t)sint恒等于0💥|🐸，即f(t)恒等于0🍁🌤-🙉。矛盾🌾🎫————🐬。于是f(t)在(0🎽🐤-🐏🎖，pi)至少变号一次🐥🦒||🎍。若f(t)在(0🐉🦘——_🪲，pi)只变号一次🦓|🌚🪀，不妨设f(t)在(0🎣😀-——🐊🥊，a)上非负*❄🏏-🐙*，在(a☁️|🪄，pi)上非正🐫——-*。令F(t)=f(t)sin(t-a)=f(t)sintcosa-f(t)costsina🐌🦓_🦥；于是积分(从0到pi)F(t)dt等我继续说*❄😛-|🌻。
高数定积分?？
分区段分析😥😈--🕷🦠，x|≤π/2时=∫sintdt=1-cosx x>π/2时=∫(0到π/2)sintdt+∫(π/2到x)0dx=1 x<-π/2时=∫(0到-π/2)sintdt+∫(-π/2)到x)0dx=1
=(0,π)∫sintdt=(0,π)∫[cost]=2 没学过二重积分🎁🥋-🎈，那分部积分总会吧？0,π)∫f(x)dx=(0,π)∫[(0,x)∫sint/(π-t)dt]dx 分部积分=(0,π)[x(0,x)∫sint/(π-t)dt]（对于x的积分上下限是π和0🐓🌱-——🦠🐾，故见到x就变为上下限即可）0,π)∫xsinx/(π-x)dx =π(0,π是什么🏆🤑——🍀🌞。
∫上π/2下0tsintdt=??？
答案为1 解题过程如下🤕-🥌，请参考∫tsintdt （积分范围0→π/2）-∫td(cost) （积分范围0→π/2）-tcost+∫costdt （积分范围0→π/2）-tcost+sint（积分范围0→π/2）0+1-(-0+0)=1
详情请查看视频回答😼🍃————🐁，
怎么做??？
所以原式=√2n*∫|sin(x+π/4)|dx🐼_🦠，0到π的积分*——🪡🥊，这里不好写🦉🍂————🦓😝，可自行在草稿纸上加上)===(令x+π/4=t)√2n∫|sint|dt(换元换限🐈🦆-🤗，则上下限变为（下👺——🎍：π/4🕸|-🌿，上😓——-🐡♦：5π/4）🎇|——*，自行加上)=√2n∫|sint|dt(0到π的积分)=√2n∫sintdt(0到π)=-√2n*cost|(0到π)=2√2n.
应该是2/π☺️🌞|🕸。其过程是🌳——-😛🐚，令x=nπ🤪🏈--🐳☄️。x→∞时😿🧶-|🐷🦗，n→∞*🎫——|🎟🦓。又🧧|🌾🐁。∫(0,nπ)丨sint丨dt=∫(0,π)丨sint丨dt+∫(π,2π)丨sint丨dt+…∫(nπ-π,nπ)丨sint丨dt=∫(0,π)sintdt-∫(π,2π)sintdt+…[(-1)^n]∫(nπ-π,nπ)sintdt=n∫(0,π)sintdt=2n😋——-😱🐺。∴原式=lim(n→∞等会说🌺🌵-——🐨。